Suites arithmétiques : définition, variations et somme - Les suites numériques

Définition

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite arithmétique s’il existe un réel $r$ , appelé raison de la suite, tel que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=u_n+r$ .

On dit que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$ .

Théorème

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite arithmétique de raison $r$ :

Si $r>0$ alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante ;
Si $r$ < $0$ alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante ;
Si $r=0$ alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante.

Théorème

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite arithmétique de raison $r$ et $p$ son rang initial.

Alors pour tout entier naturel $n \geq p$ , le terme général de cette suite est $u_n=u_p+ (n-p) \times r$ .

Exemple

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_$ 0 $= 2$ et $u_{n+1}=u_{n}+$ 3.

Ici, la raison de la suite est 3 (pour passer d’un terme au suivant, on ajoute 3) et le rang de son premier terme est 0 donc r=3 et p=0.

D’après la propriété : $u_n=$ $u_$ 0 $+(n-$ 0 $)\times$ 3 $= 2+$ 3 $n$ .

Cette suite est croissante car $r=$ 3 $>0$ .

ThéorèmeSomme des termes d'une suite arithmétique

(u_n)_{n \in \mathbb{N}}

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0+u_1+\cdots+u_n = \frac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}$ .

RemarqueCas particulier

Pour tout entier naturel $n \geq 1$ ,

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k = 1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$ .

Définition

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite arithmétique s’il existe un réel $r$ , appelé raison de la suite, tel que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=u_n+r$ .

On dit que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$ .

Théorème

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite arithmétique de raison $r$ :

Si $r>0$ alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante ;
Si $r$ < $0$ alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante ;
Si $r=0$ alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante.

Théorème

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite arithmétique de raison $r$ et $p$ son rang initial.

Alors pour tout entier naturel $n \geq p$ , le terme général de cette suite est $u_n=u_p+ (n-p) \times r$ .

Exemple

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_$ 0 $= 2$ et $u_{n+1}=u_{n}+$ 3.

Ici, la raison de la suite est 3 (pour passer d’un terme au suivant, on ajoute 3) et le rang de son premier terme est 0 donc r=3 et p=0.

D’après la propriété : $u_n=$ $u_$ 0 $+(n-$ 0 $)\times$ 3 $= 2+$ 3 $n$ .

Cette suite est croissante car $r=$ 3 $>0$ .

ThéorèmeSomme des termes d'une suite arithmétique

(u_n)_{n \in \mathbb{N}}

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0+u_1+\cdots+u_n = \frac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}$ .

RemarqueCas particulier

Pour tout entier naturel $n \geq 1$ ,

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k = 1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$ .