Variations d’une suite - Les suites numériques

Définition

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} \geq u_n$ .

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} \leq u_n$ .

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est monotone si elle est croissante sur $\mathbb{N}$ ou décroissante sur $\mathbb{N}$ .

Définition

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement croissante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} > u_n$ .

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}$ < $u_n$ .

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement monotone si elle est strictement croissante sur $\mathbb{N}$ ou strictement décroissante sur $\mathbb{N}$ .

Définition

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = u_n$ .

Remarque

Une suite peut ne pas être monotone. Par exemple, la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = (-1)^n$ n’est pas monotone car ses termes successifs valent $1 \ ; \ -1 \ ; \ 1 \ ; -1 \dots$ .

Propriété

Pour déterminer le sens de variation d’une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ , plusieurs approches sont possibles.

Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$
- La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante si et seulement si, pour tout $n$ , $u_{n+1} - u_n \geq 0$
- La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante si et seulement si, pour tout $n$ , $u_{n+1} - u_n \leq 0$
- La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante si et seulement si, pour tout $n$ , $u_{n+1} - u_n = 0$
Étudier le signe de $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}$ à condition que $u_n > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$
- La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante si et seulement si, pour tout $n$ , $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1$
- La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante si et seulement si, pour tout $n$ , $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1$
- La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante si et seulement si, pour tout $n$ , $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1$
Se ramener à une étude de fonction : si $u_{n+1} = f(u_n)$ alors il suffit d'étudier le signe de $f(u_n) - u_n$

Remarque

Pour la stricte monotonie, les inégalités larges sont remplacées par des inégalités strictes dans la propriété précédente.

Exemple

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = -n+2$ .

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n+1} - u_n = -(n+1)+2 - (-n+2) =-n+1+n-2=-1$ < $0$ donc $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante.

Exemple

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $\displaystyle u_n = \frac{1}{7n+6}$ .

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\displaystyle \frac{u_{n+1} }{u_n} = \frac{7n+6}{7(n+1)+6} = \frac{7n+6}{7n+13}$ < $1$ donc $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante.

Définition

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} \geq u_n$ .

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} \leq u_n$ .

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est monotone si elle est croissante sur $\mathbb{N}$ ou décroissante sur $\mathbb{N}$ .

Définition

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement croissante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} > u_n$ .

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}$ < $u_n$ .

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement monotone si elle est strictement croissante sur $\mathbb{N}$ ou strictement décroissante sur $\mathbb{N}$ .

Définition

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = u_n$ .

Remarque

Propriété

Pour déterminer le sens de variation d’une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ , plusieurs approches sont possibles.

Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$
- La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante si et seulement si, pour tout $n$ , $u_{n+1} - u_n \geq 0$
- La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante si et seulement si, pour tout $n$ , $u_{n+1} - u_n \leq 0$
- La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante si et seulement si, pour tout $n$ , $u_{n+1} - u_n = 0$
Étudier le signe de $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}$ à condition que $u_n > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$
- La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante si et seulement si, pour tout $n$ , $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1$
- La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante si et seulement si, pour tout $n$ , $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1$
- La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante si et seulement si, pour tout $n$ , $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1$
Se ramener à une étude de fonction : si $u_{n+1} = f(u_n)$ alors il suffit d'étudier le signe de $f(u_n) - u_n$

Remarque

Pour la stricte monotonie, les inégalités larges sont remplacées par des inégalités strictes dans la propriété précédente.

Exemple

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = -n+2$ .

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n+1} - u_n = -(n+1)+2 - (-n+2) =-n+1+n-2=-1$ < $0$ donc $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante.

Exemple

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $\displaystyle u_n = \frac{1}{7n+6}$ .

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\displaystyle \frac{u_{n+1} }{u_n} = \frac{7n+6}{7(n+1)+6} = \frac{7n+6}{7n+13}$ < $1$ donc $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante.