Définition et expressions d'une suite - Les suites numériques

Définition

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une fonction définie de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ :

$u : \quad \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad n \longmapsto u_n$ .

$u_n$ est le terme général de la suite.

Les réels $u_0, \ u_1, \ u_2, \dots$ sont les termes de la suite.

Les entiers $n$ sont les indices ou les rangs.

Remarque

Une suite peut être vue comme une liste ordonnée de nombres réels. Chaque nombre réel de cette liste représente un terme de la suite, et la position de ce nombre réel dans la liste correspond à son indice.

Exemple

Par exemple, considérons la liste : $1 , \ 5, \ 4, \ 9, \dots$ . Notons $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite correspondante.

Les termes de cette suite sont $u_0 = 1$ (terme de rang 0), $u_1 = 5$ (terme de rang 1), $u_2 = 4$ (terme de rang 2), $u_3 = 9$ (terme de rang 3), etc.

AttentionPuisqu'on compte à partir de 0,

u_n

n'est pas le

n

-ème terme de la suite, mais le

n+1

-ème !

Attention

$(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ désigne une suite (une fonction) mais $u_n$ désigne un terme de cette suite (un réel).

On peut faire une analogie avec les fonctions : $f$ désigne une fonction mais $f(x)$ désigne la valeur de cette fonction en un réel $x$ .

Définition

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite explicite lorsque le terme général $u_n$ de la suite s'exprime explicitement en fonction de $n$ .

Exemple

La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = 2 n + 1$ est explicite : on peut calculer n'importe quel terme uniquement à partir de son rang.

$u_0 = 2 \times 0 + 1 = 1$

$u_1 = 2 \times 1 + 1 = 3$

$u_{23} = 2 \times 23 + 1 = 47$

Définition

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite récurrente lorsqu’elle est définie par son premier terme $u_0$ et une relation permettant de calculer chaque terme à partir du précédent.

Exemple

La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2 u_n - 1$ est récurrente : chacun de ses termes se calcule uniquement à partir du précédent.

$u_0 = 2$

$u_1 = u_{0+1} = 2 \times u_0 - 1 = 2 \times 2 - 1 = 3$

$u_2 = u_{1+1} = 2 \times u_1 - 1 = 2 \times 3 - 1 = 5$

$u_{23}$ se calcule à partir de $u_{22}$ , lui-même calculable grâce à $u_{21}$ et ainsi de suite.

On a donc besoin de calculer tous les termes de $u_0$ à $u_{22}$ .

Remarque

Parfois, il est possible d'exprimer $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de manière explicite à partir de sa relation de récurrence.

Définition

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une fonction définie de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ :

$u : \quad \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad n \longmapsto u_n$ .

$u_n$ est le terme général de la suite.

Les réels $u_0, \ u_1, \ u_2, \dots$ sont les termes de la suite.

Les entiers $n$ sont les indices ou les rangs.

Remarque

Exemple

Par exemple, considérons la liste : $1 , \ 5, \ 4, \ 9, \dots$ . Notons $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite correspondante.

Les termes de cette suite sont $u_0 = 1$ (terme de rang 0), $u_1 = 5$ (terme de rang 1), $u_2 = 4$ (terme de rang 2), $u_3 = 9$ (terme de rang 3), etc.

AttentionPuisqu'on compte à partir de 0,

u_n

n'est pas le

n

-ème terme de la suite, mais le

n+1

-ème !

Attention

$(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ désigne une suite (une fonction) mais $u_n$ désigne un terme de cette suite (un réel).

On peut faire une analogie avec les fonctions : $f$ désigne une fonction mais $f(x)$ désigne la valeur de cette fonction en un réel $x$ .

Définition

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite explicite lorsque le terme général $u_n$ de la suite s'exprime explicitement en fonction de $n$ .

Exemple

La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = 2 n + 1$ est explicite : on peut calculer n'importe quel terme uniquement à partir de son rang.

$u_0 = 2 \times 0 + 1 = 1$

$u_1 = 2 \times 1 + 1 = 3$

$u_{23} = 2 \times 23 + 1 = 47$

Définition

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite récurrente lorsqu’elle est définie par son premier terme $u_0$ et une relation permettant de calculer chaque terme à partir du précédent.

Exemple

La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2 u_n - 1$ est récurrente : chacun de ses termes se calcule uniquement à partir du précédent.

$u_0 = 2$

$u_1 = u_{0+1} = 2 \times u_0 - 1 = 2 \times 2 - 1 = 3$

$u_2 = u_{1+1} = 2 \times u_1 - 1 = 2 \times 3 - 1 = 5$

$u_{23}$ se calcule à partir de $u_{22}$ , lui-même calculable grâce à $u_{21}$ et ainsi de suite.

On a donc besoin de calculer tous les termes de $u_0$ à $u_{22}$ .

Remarque

Parfois, il est possible d'exprimer $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de manière explicite à partir de sa relation de récurrence.