Suites géométriques : définition, variations et somme - Les suites numériques

Définition

Une suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique s’il existe un réel $q$ , appelé raison de la suite, tel que pour tout entier naturel $n$ , : $v_{n+1}=v_n \times q$ .

On dit que $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $v_0$ .

Théorème

Soit $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite géométrique de raison $q$ non nulle et de premier terme $v_0 > 0$ :

Si $q>1$ alors $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante ;
Si $0$ < $q$ < $1$ alors $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante ;
Si $q=1$ alors $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante ;

Si $q$ < $0$ alors $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ n'est ni croissante ni décroissante (elle oscille entre des termes positifs et négatifs).

Théorème

Soit $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite géométrique de raison $q$ et $p$ son rang initial.

Alors pour tout entier naturel $n \geq p$ , le terme général de cette suite est $v_n = v_p \times q^{n-p}$ .

Exemple

Soit la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $v_$ 0 $= 4$ et $v_{n+1}=$ 2 $v_n$ .

Ici, la raison de la suite est 2 (pour passer d’un terme au suivant, on multiplie par 2) et le rang de son premier terme est 0 donc q=2 et p=0.

D’après la propriété : $v_n = v_0 \times q^{n-0} = 4+2 n$ .

Cette suite est croissante car $q=$ 2 $>1$ .

Théorème

Somme des termes d'une suite géométrique $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$

Si $q$ est différent de $1$ , $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} v_k = v_0 + v_1 + \cdots + v_n = v_0 \times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ ;
Si $q=1$ , $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} v_k = v_0 \times (n+1)$ .

RemarqueCas particulier

Pour tout entier naturel $n \geq 1$ ,

Si $q$ est différent de $1$ , $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} q^{k} = 1+q+q^2+\cdots+q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ ;
Si $q=1$ , $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} q^{k}=n+1$ .

Définition

Une suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique s’il existe un réel $q$ , appelé raison de la suite, tel que pour tout entier naturel $n$ , : $v_{n+1}=v_n \times q$ .

On dit que $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $v_0$ .

Théorème

Soit $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite géométrique de raison $q$ non nulle et de premier terme $v_0 > 0$ :

Si $q>1$ alors $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante ;
Si $0$ < $q$ < $1$ alors $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante ;
Si $q=1$ alors $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est constante ;

Si $q$ < $0$ alors $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ n'est ni croissante ni décroissante (elle oscille entre des termes positifs et négatifs).

Théorème

Soit $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite géométrique de raison $q$ et $p$ son rang initial.

Alors pour tout entier naturel $n \geq p$ , le terme général de cette suite est $v_n = v_p \times q^{n-p}$ .

Exemple

Soit la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $v_$ 0 $= 4$ et $v_{n+1}=$ 2 $v_n$ .

Ici, la raison de la suite est 2 (pour passer d’un terme au suivant, on multiplie par 2) et le rang de son premier terme est 0 donc q=2 et p=0.

D’après la propriété : $v_n = v_0 \times q^{n-0} = 4+2 n$ .

Cette suite est croissante car $q=$ 2 $>1$ .

Théorème

Somme des termes d'une suite géométrique $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$

Si $q$ est différent de $1$ , $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} v_k = v_0 + v_1 + \cdots + v_n = v_0 \times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ ;
Si $q=1$ , $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} v_k = v_0 \times (n+1)$ .

RemarqueCas particulier

Pour tout entier naturel $n \geq 1$ ,

Si $q$ est différent de $1$ , $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} q^{k} = 1+q+q^2+\cdots+q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ ;
Si $q=1$ , $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} q^{k}=n+1$ .