Bonjour,

Exercice 1

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O , $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ ) on considère les points A et B d’affixes respectives $ z_A $= $2$e^{i $\frac{\pi}{4}$} et $ z_B $= $2$e^{i $\frac{3\pi}{4}$}

Montrer que OAB est un triangle rectangle isocèle.
On considère l’équation (𝐸) ∶ 𝑧² − $\sqrt{6}$ 𝑧 + 2 = 0
Montrer qu’une des solutions de (E) est l’affixe d’un point situé sur le cercle circonscrit au triangle OAB.

Exercice 2

On considère un questionnaire comportant cinq questions. Pour chacune des cinq questions posées, trois propositions de réponses sont faites (A, B et C), une seule d’entre elles étant exacte.
Un candidat répond à toutes les questions posées en écrivant un mot réponse de cinq lettres. Par exemple, le mot « BBAAC » signifie que le candidat a répondu B aux première et deuxième question, A aux troisième et quatrième questions et C à la cinquième question.

1.a. Combien y-a-t-il de mots-réponses possible à ce questionnaire ?
b. On suppose que le candidat répond au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire.
Calculer la probabilité des événements suivants :
E : « le candidat a exactement une réponse exacte ».
F : « le candidat n’a aucune réponse exacte ».
G : « le mot-réponse du candidat est un palindrome » (On précise qu’un palindrome est un mot pouvant se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche : par exemple, « B ACAB » est un palindrome).

Un professeur décide de soumettre ce questionnaire à ses 28 élèves en leur demandant de répondre au hasard à chacune des cinq questions de ce questionnaire. On désigne par X le nombre d’élèves dont le mot-réponse ne comporte aucune réponse exacte.
a. Justifier que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n=28 et p=$\frac{32}{243}$
b. Calculer la probabilité, arrondie à ${10}^{-2}$, qu’au plus un élève n’ait fourni que des réponses fausses

Exercice 3 :

Soit la fonction f définie sur R par : $f\left(x\right)={2x}^{4} -\ {4x}^{3}+{2x}^{2}$
1) Calculer les limites de f en +∞ et −∞
2) Déterminer la fonction dérivée f′ que l’on factorisera.
3) Résoudre l’équation f′(x) = 0 puis déterminer le signe de la dérivée f′.
4) Dresser le tableau de variation de la fonction f .
5) D’après le tableau de variation, combien de solutions possède l’équation f(x) = 1.
On se justifiera

La version téléchargeable : https://docs.workyt.fr/index.php/s/aykXbnSpyeWmgbX