Ouverture : convergence, limite et bornitude - Les suites numériques

Définition

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite convergente si elle tend vers un réel $l$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .

On note alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = l$ .

Sinon, la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite divergente.

Remarque

Étudier la limite d’une suite consiste à observer vers quoi se rapprochent ses termes quand « $n$ devient grand ».

Exemple

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = 2n+1$ .

$n$	$0$	$10$	$100$	$1000$	$10000$	$100000$
$u_n$	$1$	$21$	$201$	$2001$	$20001$	$200001$

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La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge car ses termes tendent vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .

Donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ .

Exemple

Soit la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $\displaystyle v_{n+1} = \frac{1}{2} v_n - 1$ et $v_0 = 2$ .

$n$	$0$	$10$	$100$	$1000$	$10000$	$100000$
$v_n$	$2$	$\displaystyle -2+\frac{1}{2^8}$	$\displaystyle -2+\frac{1}{2^{98}}$	$\displaystyle -2+\frac{1}{2^{998}}$	$\displaystyle -2+\frac{1}{2^{9998}}$	$\displaystyle -2+\frac{1}{2^{99998}}$

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La suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge car ses termes se rapprochent de $-2$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .

Donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = -2$ .

Exemple

Soit la suite $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $w_n = \cos(n)$ où les angles sont en radians.

Les valeurs sont arrondies au centième près.

$n$	$0$	$10$	$100$	$1000$	$10000$	$100000$
$w_n$	$1$	$-0{,}84$	$0{,}86$	$0{,}56$	$-0{,}84$	$0{,}31$

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La suite $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge car ses termes oscillent indéfiniment dans l'intervalle $[-1;1]$ .

Donc $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ n'admet pas de limite.

Remarque

Toute suite arithmétique non constante (de raison $r$ non nulle) est divergente vers $+\infty$ (si $r>0$ ) ou vers $-\infty$ (si $r$ < $0$ ).

Toute suite géométrique non constante (de premier terme non nul et de raison $q$ non nulle et différente de $1$ ) est convergente si et seulement si $|q|$ < $1$ .

Définition

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite minorée s'il existe une constante réelle $m$ telle que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n \geq m$ .

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite majorée s'il existe une constante réelle $M$ telle que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n \leq M$ .

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite bornée si elle est minorée et majorée.

ThéorèmeThéorème de la limite monotone

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle.

Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante et majorée, alors elle converge.

Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante et minorée, alors elle converge.

Définition

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite convergente si elle tend vers un réel $l$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .

On note alors $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = l$ .

Sinon, la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite divergente.

Remarque

Étudier la limite d’une suite consiste à observer vers quoi se rapprochent ses termes quand « $n$ devient grand ».

Exemple

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = 2n+1$ .

$n$	$0$	$10$	$100$	$1000$	$10000$	$100000$
$u_n$	$1$	$21$	$201$	$2001$	$20001$	$200001$

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La suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge car ses termes tendent vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .

Donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ .

Exemple

Soit la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $\displaystyle v_{n+1} = \frac{1}{2} v_n - 1$ et $v_0 = 2$ .

$n$	$0$	$10$	$100$	$1000$	$10000$	$100000$
$v_n$	$2$	$\displaystyle -2+\frac{1}{2^8}$	$\displaystyle -2+\frac{1}{2^{98}}$	$\displaystyle -2+\frac{1}{2^{998}}$	$\displaystyle -2+\frac{1}{2^{9998}}$	$\displaystyle -2+\frac{1}{2^{99998}}$

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La suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge car ses termes se rapprochent de $-2$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .

Donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = -2$ .

Exemple

Soit la suite $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $w_n = \cos(n)$ où les angles sont en radians.

Les valeurs sont arrondies au centième près.

$n$	$0$	$10$	$100$	$1000$	$10000$	$100000$
$w_n$	$1$	$-0{,}84$	$0{,}86$	$0{,}56$	$-0{,}84$	$0{,}31$

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La suite $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge car ses termes oscillent indéfiniment dans l'intervalle $[-1;1]$ .

Donc $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ n'admet pas de limite.

Remarque

Toute suite arithmétique non constante (de raison $r$ non nulle) est divergente vers $+\infty$ (si $r>0$ ) ou vers $-\infty$ (si $r$ < $0$ ).

Toute suite géométrique non constante (de premier terme non nul et de raison $q$ non nulle et différente de $1$ ) est convergente si et seulement si $|q|$ < $1$ .

Définition

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite minorée s'il existe une constante réelle $m$ telle que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n \geq m$ .

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite majorée s'il existe une constante réelle $M$ telle que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n \leq M$ .

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est dite bornée si elle est minorée et majorée.

ThéorèmeThéorème de la limite monotone

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle.

Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est croissante et majorée, alors elle converge.

Si $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est décroissante et minorée, alors elle converge.