EXERCICE 3 : BACCALAURÉAT GÉNÉRAL ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ SESSION 2022 MATHÉMATIQUES
Soit (u_{n}) la suite définie par u_{0}=1 et pour tout entier naturel 𝑛 :
u_{n+1}= \frac{u_{n}}{1+u_{n}}
- a. Calculer les termes (u_{1}), (u_{2})et (u_{3}) . On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
b. Recopier le script Python ci-dessous et compléter les lignes 3 et 6 pour que liste(k) prenne en paramètre un entier naturel k et renvoie la liste des premières valeurs de la suite (u_{n}) de (u_{0}) à (u_{k})
def liste(k) :
L = []
u = …
for i in range(0, k+1) :
L.append(u)
u = …
return(L)
- On admet que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 est strictement positif. Déterminer le sens de variation de la suite (u_{n}).
- En déduire que la suite (u_{n}) converge.
- Déterminer la valeur de sa limite.
- a. Conjecturer une expression de 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.
b. Démontrer par récurrence la conjecture précédente.
