Non Certifiée
CHAPITRE 1 – LES FONCTIONS
Chapitre prioritaire : cours très détaillé
PARTIE 1 – Comprendre ce qu'est une fonction
1. Définition d'une fonction
Une fonction est un procédé de calcul qui, à un nombre donné, associe un nombre unique.
Autrement dit, une fonction est une sorte de machine mathématique : tu lui donnes un nombre, elle effectue un calcul et te donne un résultat.
Prenons un exemple.
On considère une fonction qui associe à chaque nombre son double.
On appelle cette fonction \(f\).
La fonction effectue donc le calcul suivant :
\[ f(x)=2x \]
Cela signifie que la fonction multiplie le nombre choisi par 2.
Exemple : la machine fonction
Nombre de départ : 5
Fonction f : multiplier par 2
Résultat : 10
\[ f(5)=2\times5=10 \]
Voici d'autres exemples :
| Nombre de départ | Calcul | Résultat |
|---|---|---|
| 2 | \(2\times2\) | 4 |
| 3 | \(3\times2\) | 6 |
| 5 | \(5\times2\) | 10 |
| 8 | \(8\times2\) | 16 |
| -4 | \(-4\times2\) | -8 |
À retenir : une fonction donne toujours une seule image pour un nombre de départ donné.
2. La notation d'une fonction
En mathématiques, on utilise des lettres pour désigner les fonctions : \(f\), \(g\), \(h\), etc.
Par exemple :
\[ f(x)=3x+2 \]
Cette écriture signifie que la fonction \(f\) associe à un nombre \(x\) le résultat du calcul \(3x+2\).
On peut aussi écrire :
\[ f : x \longmapsto 3x+2 \]
Cela se lit : « La fonction f qui à x associe 3x + 2 ».
Il faut bien comprendre les différentes notations :
| Notation | Signification |
|---|---|
| \(f\) | La fonction |
| \(x\) | La variable, le nombre de départ |
| \(f(x)\) | L'image de x par f |
| \(f(4)\) | L'image de 4 par f |
| \(f(4)=14\) | L'image de 4 est 14 |
Attention à une erreur très fréquente :
\(f\) et \(f(x)\) ne désignent pas la même chose.
-
\(f\) représente la fonction, c'est-à-dire la machine.
-
\(f(x)\) représente le résultat obtenu après avoir utilisé cette fonction.
De plus, \(f(x)\) n'est pas une multiplication entre \(f\) et \(x\).
PARTIE 2 – L'image d'un nombre
C'est l'une des notions les plus importantes du chapitre.
1. Qu'est-ce qu'une image ?
L'image d'un nombre est le résultat obtenu lorsqu'on utilise une fonction avec ce nombre.
Prenons cette fonction :
\[ f(x)=3x+5 \]
On souhaite trouver l'image de 4.
Cela signifie qu'on doit calculer \(f(4)\).
Méthode :
-
On repère le nombre entre parenthèses.
-
On remplace chaque \(x\) par ce nombre.
-
On effectue le calcul en respectant les priorités opératoires.
\[ f(4)=3\times4+5 \]
\[ f(4)=12+5 \]
\[ \boxed{f(4)=17} \]
L'image de 4 par la fonction \(f\) est donc 17.
2. Plusieurs exemples pour bien comprendre
On considère :
\[ f(x)=2x-7 \]
Exemple A : calculer l'image de 6.
\[ f(6)=2\times6-7 \]
\[ f(6)=12-7 \]
\[ \boxed{f(6)=5} \]
Exemple B : calculer l'image de -3.
Attention aux nombres négatifs !
\[ f(-3)=2\times(-3)-7 \]
\[ f(-3)=-6-7 \]
\[ \boxed{f(-3)=-13} \]
Exemple C : calculer l'image de 0.
\[ f(0)=2\times0-7 \]
\[ \boxed{f(0)=-7} \]
3. Que faire lorsque la fonction contient un carré ?
C'est également très important.
On considère :
\[ g(x)=x^2+3 \]
On souhaite calculer l'image de -4.
\[ g(-4)=(-4)^2+3 \]
\[ g(-4)=16+3 \]
\[ \boxed{g(-4)=19} \]
Attention :
\[ (-4)^2=16 \]
Mais :
\[ -4^2=-16 \]
Les parenthèses sont donc essentielles lorsque tu remplaces une variable par un nombre négatif.
4. Les images peuvent être calculées avec différentes expressions
Voici plusieurs situations que tu peux rencontrer dans un contrôle.
| Fonction | Nombre choisi | Image |
|---|---|---|
| \(f(x)=5x\) | 3 | 15 |
| \(g(x)=x+8\) | -2 | 6 |
| \(h(x)=x^2\) | -5 | 25 |
| \(k(x)=4x-3\) | 2 | 5 |
| \(p(x)=2x^2+1\) | -3 | 19 |
La règle à retenir :
Pour calculer une image, tu connais le nombre de départ et tu dois trouver le résultat.
\[ \boxed{\text{Nombre de départ}\longrightarrow\text{Résultat}} \]
PARTIE 3 – Les antécédents d'un nombre
Notion essentielle du contrôle
Les antécédents sont souvent plus difficiles à comprendre que les images. Il faut donc bien distinguer les deux.
1. Qu'est-ce qu'un antécédent ?
Un antécédent est un nombre de départ qui permet d'obtenir une image donnée.
Autrement dit :
-
Pour trouver une image, on connaît le nombre de départ.
-
Pour trouver un antécédent, on connaît le résultat et on cherche le nombre de départ.
Prenons l'exemple suivant :
\[ f(x)=2x+4 \]
On sait que l'image d'un nombre est 14.
On cherche donc quel nombre, lorsqu'on le multiplie par 2 et qu'on ajoute 4, donne 14.
On peut essayer :
\[ 2\times5+4=14 \]
Donc :
\[ \boxed{5\text{ est un antécédent de 14}} \]
2. Comment calculer un antécédent avec une expression ?
C'est ici qu'il faut connaître une méthode très importante : résoudre une équation.
Prenons :
\[ f(x)=3x+6 \]
On cherche le ou les antécédents de 21.
Cela signifie que l'on cherche \(x\) tel que :
\[ f(x)=21 \]
On remplace \(f(x)\) par son expression :
\[ 3x+6=21 \]
Maintenant, il faut isoler \(x\).
Étape 1 : enlever le +6.
On soustrait 6 des deux côtés :
\[ 3x=21-6 \]
\[ 3x=15 \]
Étape 2 : enlever le coefficient 3.
On divise les deux côtés par 3 :
\[ x=\frac{15}{3} \]
\[ \boxed{x=5} \]
L'antécédent de 21 est donc 5.
3. Deuxième exemple avec un nombre négatif
On considère :
\[ g(x)=5x-8 \]
On cherche l'antécédent de 12.
On écrit :
\[ 5x-8=12 \]
On ajoute 8 des deux côtés :
\[ 5x=20 \]
On divise par 5 :
\[ \boxed{x=4} \]
L'antécédent de 12 est 4.
4. Troisième exemple avec des fractions
On considère :
\[ h(x)=\frac{x}{3}+2 \]
On cherche l'antécédent de 7.
On écrit :
\[ \frac{x}{3}+2=7 \]
On soustrait 2 :
\[ \frac{x}{3}=5 \]
On multiplie par 3 :
\[ \boxed{x=15} \]
L'antécédent de 7 est 15.
5. Que faire avec une fonction contenant un carré ?
Prenons :
\[ g(x)=x^2 \]
On cherche les antécédents de 25.
On doit résoudre :
\[ x^2=25 \]
Quels nombres multipliés par eux-mêmes donnent 25 ?
Il y en a deux :
\[ 5^2=25 \]
\[ (-5)^2=25 \]
Les deux antécédents sont donc :
\[ \boxed{-5\text{ et }5} \]
C'est exactement ce que ton cours explique avec l'exemple :
\[ g(4)=16 \]
et
\[ g(-4)=16 \]
Les deux antécédents de 16 sont 4 et -4.
6. Peut-on avoir plusieurs antécédents ?
Oui !
C'est une distinction fondamentale de ton cours.
-
Une image est toujours unique pour un nombre de départ donné.
-
Un nombre peut avoir plusieurs antécédents.
-
Un nombre peut aussi n'avoir aucun antécédent.
Exemple :
\[ f(x)=x^2 \]
| Nombre dont on cherche les antécédents | Antécédents |
|---|---|
| 9 | -3 et 3 |
| 16 | -4 et 4 |
| 0 | 0 |
| -4 | Aucun |
Pourquoi -4 n'a-t-il aucun antécédent ?
Parce qu'un nombre au carré est toujours positif ou nul. Il est donc impossible d'obtenir -4 avec cette fonction.
PARTIE 4 – Bien distinguer image et antécédent
C'est probablement la distinction la plus importante de tout le chapitre.
Prenons cette fonction :
\[ f(x)=4x+2 \]
| Question | Calcul | Réponse |
|---|---|---|
| Quelle est l'image de 3 ? | \(4\times3+2\) | 14 |
| Quel est l'antécédent de 14 ? | \(4x+2=14\) | 3 |
| Quelle est l'image de 5 ? | \(4\times5+2\) | 22 |
| Quel est l'antécédent de 22 ? | \(4x+2=22\) | 5 |
L'astuce pour ne plus les confondre
IMAGE
→
On calcule.
On connaît le départ, on cherche le résultat.
ANTÉCÉDENT
←
On remonte.
On connaît le résultat, on cherche le départ.
PARTIE 5 – Trouver une image et un antécédent dans un tableau
Les fonctions peuvent aussi être représentées dans un tableau de valeurs.
Prenons :
\[ f(x)=2x+1 \]
On calcule les images de plusieurs nombres.
| \(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 | 7 |
1. Trouver une image dans un tableau
Question : quelle est l'image de 2 ?
Tu regardes la première ligne et tu repères 2.
Tu descends ensuite dans la deuxième ligne.
Tu trouves 5.
Donc :
\[ \boxed{f(2)=5} \]
2. Trouver un antécédent dans un tableau
Question : quel est l'antécédent de 7 ?
Cette fois, tu cherches 7 dans la deuxième ligne.
Tu remontes ensuite vers la première ligne.
Tu trouves 3.
Donc :
\[ \boxed{3\text{ est un antécédent de }7} \]
Attention : il ne faut pas confondre les deux lignes du tableau.
-
Première ligne : nombres de départ, les \(x\).
-
Deuxième ligne : images, les \(f(x)\).
PARTIE 6 – La représentation graphique d'une fonction
Ton cours explique que la représentation graphique d'une fonction est un ensemble de points de coordonnées \((a\,;\,f(a))\).
Voyons ce que cela signifie concrètement.
1. Qu'est-ce qu'une représentation graphique ?
Une fonction peut être représentée dans un repère.
Chaque point de la courbe possède deux coordonnées :
\[ M(a\,;\,f(a)) \]
-
\(a\) est l'abscisse du point.
-
\(f(a)\) est son ordonnée.
La représentation graphique d'une fonction est l'ensemble de ces points.
Fonctions de référence : cours de 1ere - Mathématiques
2. Trouver une image sur un graphique
Imaginons que l'on te demande :
Quelle est l'image de 2 ?
Voici la méthode :
-
Tu repères 2 sur l'axe horizontal, qui est l'axe des abscisses.
-
Tu traces mentalement ou avec ta règle une droite verticale jusqu'à la courbe.
-
Depuis le point d'intersection, tu vas horizontalement vers l'axe vertical.
-
Tu lis le nombre obtenu.
Ce nombre est l'image de 2.
3. Trouver un antécédent sur un graphique
Imaginons maintenant que l'on te demande :
Quel est l'antécédent de 4 ?
La méthode est inversée :
-
Tu repères 4 sur l'axe vertical, celui des ordonnées.
-
Tu traces une droite horizontale jusqu'à la courbe.
-
Depuis le point d'intersection, tu descends verticalement vers l'axe horizontal.
-
Tu lis le nombre obtenu.
Ce nombre est l'antécédent de 4.
4. Comment savoir s'il existe plusieurs antécédents sur un graphique ?
C'est très important !
Une droite horizontale peut couper une courbe :
-
Une seule fois : il y a un seul antécédent.
-
Plusieurs fois : il y a plusieurs antécédents.
-
Aucune fois : il n'y a aucun antécédent.
En revanche, pour une même abscisse, une courbe représentant une fonction ne peut pas donner plusieurs ordonnées.
C'est ce qui garantit l'unicité de l'image.
PARTIE 7 – Les fonctions et les expressions de calcul
Dans un exercice, on peut te donner différentes expressions de fonctions. Tu dois savoir les utiliser.
1. Une fonction avec une addition ou une soustraction
Exemple :
\[ f(x)=x+7 \]
Calculons l'image de 5 :
\[ f(5)=5+7=12 \]
2. Une fonction avec une multiplication
\[ g(x)=6x \]
Calculons l'image de -3 :
\[ g(-3)=6\times(-3)=-18 \]
3. Une fonction avec plusieurs opérations
\[ h(x)=4x-9 \]
Calculons l'image de 6 :
\[ h(6)=4\times6-9 \]
\[ h(6)=24-9=15 \]
4. Une fonction avec un carré et une addition
\[ p(x)=x^2+5 \]
Calculons l'image de -6 :
\[ p(-6)=(-6)^2+5 \]
\[ p(-6)=36+5=41 \]
5. Une fonction avec des parenthèses
\[ k(x)=3(x+4) \]
Calculons l'image de 2 :
\[ k(2)=3(2+4) \]
\[ k(2)=3\times6 \]
\[ \boxed{k(2)=18} \]
Attention : tu dois respecter les priorités opératoires et les parenthèses.
PARTIE 8 – Les fonctions et les tableaux de valeurs
Un tableau de valeurs permet de présenter plusieurs nombres et leurs images.
Prenons :
\[ f(x)=x^2-2 \]
Complétons le tableau.
| \(x\) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 7 | 2 | -1 | -2 | -1 | 2 | 7 |
Pour trouver les valeurs, il faut remplacer \(x\) par chaque nombre.
Par exemple, pour \(x=-3\) :
\[ f(-3)=(-3)^2-2 \]
\[ f(-3)=9-2=7 \]
Pour \(x=1\) :
\[ f(1)=1^2-2 \]
\[ f(1)=1-2=-1 \]
Comment construire une représentation graphique à partir d'un tableau ?
On utilise les couples de valeurs :
\[ (x\,;\,f(x)) \]
Avec notre tableau, on obtient les points suivants :
-
A(-3 ; 7)
-
B(-2 ; 2)
-
C(-1 ; -1)
-
D(0 ; -2)
-
E(1 ; -1)
-
F(2 ; 2)
-
G(3 ; 7)
Il suffit ensuite de placer chaque point dans le repère.
À retenir : pour placer un point, on commence toujours par l'abscisse (horizontalement), puis on place l'ordonnée (verticalement).
PARTIE 9 – Les erreurs à éviter absolument
Voici les erreurs que tu dois apprendre à ne plus faire pendant ton contrôle.
| Erreur | Ce qu'il faut faire |
|---|---|
| Confondre \(f\) et \(f(x)\) | \(f\) est la fonction, \(f(x)\) est une valeur. |
| Confondre image et antécédent | Image : on calcule. Antécédent : on résout. |
| Oublier les parenthèses avec les négatifs | Écrire \((-3)^2\). |
| Oublier de vérifier les antécédents | Un nombre peut en avoir plusieurs. |
| Lire le mauvais axe | Abscisse : horizontal ; ordonnée : vertical. |
| Faire les opérations dans le mauvais ordre | Respecter les priorités opératoires. |
Le résumé à apprendre par cœur
-
Une fonction associe à un nombre un nombre unique.
-
\(x\) est la variable.
-
\(f(x)\) est l'image de \(x\) par la fonction \(f\).
-
Un antécédent est un nombre qui donne une image précise.
-
Pour calculer une image, on remplace \(x\) par le nombre donné.
-
Pour calculer un antécédent, on résout une équation.
-
Une image est unique.
-
Un nombre peut avoir plusieurs antécédents ou aucun.
-
Sur un graphique, l'image se lit verticalement et l'antécédent horizontalement.