Retour au cours
Cours · Mathématiques · Première

Les suites numériques

Ce cours, à destination des élèves de première, porte sur l'étude des suites numériques : types (arithmétiques et géométriques), variations, représentations graphiques et limites. Le cours est accompagné d'exemples pour mieux…

MathématiquesPremière6 leçons6 chapitres
Niveau
Première
Écrit par
Antoine
Édition
27 octobre 2026
Sommaire

Au programme

  1. 01

    Introduction et définitions

    • 1.1 Définition et expressions d'une suite
    Je retiens l'essentiel
  2. 02

    Sens de variations

    • 2.1 Variations d’une suite
    Je retiens l'essentiel
  3. 03

    Suites arithmétiques

    • 3.1 Suites arithmétiques : définition, variations et somme
    Je retiens l'essentiel
  4. 04

    Suites géométriques

    • 4.1 Suites géométriques : définition, variations et somme
    Je retiens l'essentiel
  5. 05

    Représentation graphique

    • 5.1 Représentation graphique d'une suite
    Je retiens l'essentiel
  6. 06

    Limites

    • 6.1 Ouverture : convergence, limite et bornitude
    Je retiens l'essentiel
Mode d'emploi

Comment utiliser ton manuel

Chaque chapitre suit le même chemin : tu découvres, tu retiens, tu vérifies, puis tu t'entraînes.

Cours

Les leçons du chapitre, avec définitions, propriétés et exemples.

Je retiens l'essentiel

Les définitions et propriétés à connaître par cœur, sur une page.

Une question ?

Scanne le QR code du chapitre, sélectionne le passage qui te bloque et pose ta question : un bénévole te répond.

Chapitre
01

Introduction et définitions

Dans ce chapitre
  1. 1.1Définition et expressions d'une suite
Ce chapitre en ligne

Écoute les leçons, fais les quiz et pose tes questions sur workyt.fr.

CoursChapitre 1
Leçon 1.1

Définition et expressions d'une suite

Définition

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est une fonction définie de N\mathbb{N}N dans R\mathbb{R}R :

u:N⟶R,n⟼unu : \quad \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad n \longmapsto u_nu:N⟶R,n⟼un​.

unu_nun​ est le terme général de la suite.

Les réels u0, u1, u2,…u_0, \ u_1, \ u_2, \dotsu0​, u1​, u2​,… sont les termes de la suite.

Les entiers nnn sont les indices ou les rangs.

Remarque

Une suite peut être vue comme une liste ordonnée de nombres réels. Chaque nombre réel de cette liste représente un terme de la suite, et la position de ce nombre réel dans la liste correspond à son indice.

Exemple

Par exemple, considérons la liste : 1, 5, 4, 9,…1 , \ 5, \ 4, \ 9, \dots1, 5, 4, 9,…. Notons (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ la suite correspondante.

Les termes de cette suite sont u0=1u_0 = 1u0​=1 (terme de rang 0), u1=5u_1 = 5u1​=5 (terme de rang 1), u2=4u_2 = 4u2​=4 (terme de rang 2), u3=9u_3 = 9u3​=9 (terme de rang 3), etc.

AttentionPuisqu'on compte à partir de 0, unu_nun​ n'est pas le nnn-ème terme de la suite, mais le n+1n+1n+1-ème !
Attention

(un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ désigne une suite (une fonction) mais unu_nun​ désigne un terme de cette suite (un réel).

On peut faire une analogie avec les fonctions : fff désigne une fonction mais f(x)f(x)f(x) désigne la valeur de cette fonction en un réel xxx.

Définition

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est dite explicite lorsque le terme général unu_nun​ de la suite s'exprime explicitement en fonction de nnn.

Exemple

La suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ définie par un=2n+1u_n = 2 n + 1un​=2n+1 est explicite : on peut calculer n'importe quel terme uniquement à partir de son rang.

u0=2×0+1=1u_0 = 2 \times 0 + 1 = 1u0​=2×0+1=1

u1=2×1+1=3u_1 = 2 \times 1 + 1 = 3u1​=2×1+1=3

u23=2×23+1=47u_{23} = 2 \times 23 + 1 = 47u23​=2×23+1=47

Définition

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est dite récurrente lorsqu’elle est définie par son premier terme u0u_0u0​ et une relation permettant de calculer chaque terme à partir du précédent.

Exemple

La suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ définie par u0=2u_0 = 2u0​=2 et un+1=2un−1u_{n+1} = 2 u_n - 1un+1​=2un​−1 est récurrente : chacun de ses termes se calcule uniquement à partir du précédent.

u0=2u_0 = 2u0​=2

u1=u0+1=2×u0−1=2×2−1=3u_1 = u_{0+1} = 2 \times u_0 - 1 = 2 \times 2 - 1 = 3u1​=u0+1​=2×u0​−1=2×2−1=3

u2=u1+1=2×u1−1=2×3−1=5u_2 = u_{1+1} = 2 \times u_1 - 1 = 2 \times 3 - 1 = 5u2​=u1+1​=2×u1​−1=2×3−1=5

u23u_{23}u23​ se calcule à partir de u22u_{22}u22​, lui-même calculable grâce à u21u_{21}u21​ et ainsi de suite.

On a donc besoin de calculer tous les termes de u0u_0u0​ à u22u_{22}u22​.

Remarque

Parfois, il est possible d'exprimer (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ de manière explicite à partir de sa relation de récurrence.

Je retiens l'essentiel
Définition

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est une fonction définie de N\mathbb{N}N dans R\mathbb{R}R :

u:N⟶R,n⟼unu : \quad \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad n \longmapsto u_nu:N⟶R,n⟼un​.

unu_nun​ est le terme général de la suite.

Les réels u0, u1, u2,…u_0, \ u_1, \ u_2, \dotsu0​, u1​, u2​,… sont les termes de la suite.

Les entiers nnn sont les indices ou les rangs.

AttentionPuisqu'on compte à partir de 0, unu_nun​ n'est pas le nnn-ème terme de la suite, mais le n+1n+1n+1-ème !
Attention

(un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ désigne une suite (une fonction) mais unu_nun​ désigne un terme de cette suite (un réel).

On peut faire une analogie avec les fonctions : fff désigne une fonction mais f(x)f(x)f(x) désigne la valeur de cette fonction en un réel xxx.

Définition

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est dite explicite lorsque le terme général unu_nun​ de la suite s'exprime explicitement en fonction de nnn.

Définition

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est dite récurrente lorsqu’elle est définie par son premier terme u0u_0u0​ et une relation permettant de calculer chaque terme à partir du précédent.

Chapitre
02

Sens de variations

Dans ce chapitre
  1. 2.1Variations d’une suite
Ce chapitre en ligne

Écoute les leçons, fais les quiz et pose tes questions sur workyt.fr.

CoursChapitre 2
Leçon 2.1

Variations d’une suite

Définition

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est croissante si pour tout entier naturel nnn : un+1≥unu_{n+1} \geq u_nun+1​≥un​.

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est décroissante si pour tout entier naturel nnn : un+1≤unu_{n+1} \leq u_nun+1​≤un​.

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est monotone si elle est croissante sur N\mathbb{N}N ou décroissante sur N\mathbb{N}N.

Définition

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est strictement croissante si pour tout entier naturel nnn : un+1>unu_{n+1} > u_nun+1​>un​.

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est strictement décroissante si pour tout entier naturel nnn : un+1u_{n+1}un+1​ < unu_nun​.

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est strictement monotone si elle est strictement croissante sur N\mathbb{N}N ou strictement décroissante sur N\mathbb{N}N.

Définition

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est constante si pour tout entier naturel nnn : un+1=unu_{n+1} = u_nun+1​=un​.

Remarque

Une suite peut ne pas être monotone. Par exemple, la suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ définie par un=(−1)nu_n = (-1)^nun​=(−1)n n’est pas monotone car ses termes successifs valent 1 ; −1 ; 1 ;−1…1 \ ; \ -1 \ ; \ 1 \ ; -1 \dots1 ; −1 ; 1 ;−1….

Propriété

Pour déterminer le sens de variation d’une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​, plusieurs approches sont possibles.

  1. Étudier le signe de un+1−unu_{n+1} - u_nun+1​−un​

    • La suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est croissante si et seulement si, pour tout nnn, un+1−un≥0u_{n+1} - u_n \geq 0un+1​−un​≥0

    • La suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est décroissante si et seulement si, pour tout nnn, un+1−un≤0u_{n+1} - u_n \leq 0un+1​−un​≤0

    • La suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est constante si et seulement si, pour tout nnn, un+1−un=0u_{n+1} - u_n = 0un+1​−un​=0

  2. Étudier le signe de un+1un\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}un​un+1​​ à condition que un>0u_n > 0un​>0 pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N

    • La suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est croissante si et seulement si, pour tout nnn, un+1un≥1\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1un​un+1​​≥1

    • La suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est décroissante si et seulement si, pour tout nnn, un+1un≤1\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1un​un+1​​≤1

    • La suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est constante si et seulement si, pour tout nnn, un+1un=1\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1un​un+1​​=1

  3. Se ramener à une étude de fonction : si un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​) alors il suffit d'étudier le signe de f(un)−unf(u_n) - u_nf(un​)−un​

Remarque

Pour la stricte monotonie, les inégalités larges sont remplacées par des inégalités strictes dans la propriété précédente.

Exemple

Soit la suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ définie par un=−n+2u_n = -n+2un​=−n+2.

Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N, un+1−un=−(n+1)+2−(−n+2)=−n+1+n−2=−1u_{n+1} - u_n = -(n+1)+2 - (-n+2) =-n+1+n-2=-1un+1​−un​=−(n+1)+2−(−n+2)=−n+1+n−2=−1 < 000 donc (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est strictement décroissante.

Exemple

Soit la suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ définie par un=17n+6\displaystyle u_n = \frac{1}{7n+6}un​=7n+61​.

Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N, un+1un=7n+67(n+1)+6=7n+67n+13\displaystyle \frac{u_{n+1} }{u_n} = \frac{7n+6}{7(n+1)+6} = \frac{7n+6}{7n+13}un​un+1​​=7(n+1)+67n+6​=7n+137n+6​ < 111 donc (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est strictement décroissante.



Je retiens l'essentiel
Définition

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est croissante si pour tout entier naturel nnn : un+1≥unu_{n+1} \geq u_nun+1​≥un​.

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est décroissante si pour tout entier naturel nnn : un+1≤unu_{n+1} \leq u_nun+1​≤un​.

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est monotone si elle est croissante sur N\mathbb{N}N ou décroissante sur N\mathbb{N}N.

Définition

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est strictement croissante si pour tout entier naturel nnn : un+1>unu_{n+1} > u_nun+1​>un​.

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est strictement décroissante si pour tout entier naturel nnn : un+1u_{n+1}un+1​ < unu_nun​.

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est strictement monotone si elle est strictement croissante sur N\mathbb{N}N ou strictement décroissante sur N\mathbb{N}N.

Définition

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est constante si pour tout entier naturel nnn : un+1=unu_{n+1} = u_nun+1​=un​.

Propriété

Pour déterminer le sens de variation d’une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​, plusieurs approches sont possibles.

  1. Étudier le signe de un+1−unu_{n+1} - u_nun+1​−un​

    • La suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est croissante si et seulement si, pour tout nnn, un+1−un≥0u_{n+1} - u_n \geq 0un+1​−un​≥0

    • La suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est décroissante si et seulement si, pour tout nnn, un+1−un≤0u_{n+1} - u_n \leq 0un+1​−un​≤0

    • La suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est constante si et seulement si, pour tout nnn, un+1−un=0u_{n+1} - u_n = 0un+1​−un​=0

  2. Étudier le signe de un+1un\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}un​un+1​​ à condition que un>0u_n > 0un​>0 pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N

    • La suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est croissante si et seulement si, pour tout nnn, un+1un≥1\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1un​un+1​​≥1

    • La suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est décroissante si et seulement si, pour tout nnn, un+1un≤1\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1un​un+1​​≤1

    • La suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est constante si et seulement si, pour tout nnn, un+1un=1\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1un​un+1​​=1

  3. Se ramener à une étude de fonction : si un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​) alors il suffit d'étudier le signe de f(un)−unf(u_n) - u_nf(un​)−un​

Chapitre
03

Suites arithmétiques

Dans ce chapitre
  1. 3.1Suites arithmétiques : définition, variations et somme
Ce chapitre en ligne

Écoute les leçons, fais les quiz et pose tes questions sur workyt.fr.

CoursChapitre 3
Leçon 3.1

Suites arithmétiques : définition, variations et somme

Définition

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est une suite arithmétique s’il existe un réel rrr, appelé raison de la suite, tel que pour tout entier naturel nnn : un+1=un+ru_{n+1}=u_n+run+1​=un​+r.

On dit que (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est une suite arithmétique de raison rrr et de premier terme u0u_0u0​.

Théorème

Soit (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ une suite arithmétique de raison rrr :

  • Si r>0r>0r>0 alors (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est croissante ;

  • Si rrr<000 alors (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est décroissante ;

  • Si r=0r=0r=0 alors (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est constante.

Théorème

Soit (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ une suite arithmétique de raison rrr et ppp son rang initial.

Alors pour tout entier naturel n≥pn \geq pn≥p, le terme général de cette suite est un=up+(n−p)×ru_n=u_p+ (n-p) \times run​=up​+(n−p)×r.

Exemple

Soit la suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ définie par u_0 =2= 2=2 et un+1=un+u_{n+1}=u_{n}+un+1​=un​+ 3.

Ici, la raison de la suite est 3 (pour passer d’un terme au suivant, on ajoute 3) et le rang de son premier terme est 0 donc r=3 et p=0.

D’après la propriété : un=u_n=un​= u_0 +(n−+(n-+(n−0)×)\times )×3=2+ = 2+=2+3nnn.

Cette suite est croissante car r=r=r= 3 >0>0>0.

ThéorèmeSomme des termes d'une suite arithmétique (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​

∑k=0nuk=u0+u1+⋯+un=(u0+un)(n+1)2\displaystyle \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0+u_1+\cdots+u_n = \frac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}k=0∑n​uk​=u0​+u1​+⋯+un​=2(u0​+un​)(n+1)​.

RemarqueCas particulier

Pour tout entier naturel n≥1n \geq 1n≥1,

∑k=0nk=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k = 1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}k=0∑n​k=1+2+3+⋯+n=2n(n+1)​.

Je retiens l'essentiel
Définition

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est une suite arithmétique s’il existe un réel rrr, appelé raison de la suite, tel que pour tout entier naturel nnn : un+1=un+ru_{n+1}=u_n+run+1​=un​+r.

On dit que (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est une suite arithmétique de raison rrr et de premier terme u0u_0u0​.

Théorème

Soit (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ une suite arithmétique de raison rrr :

  • Si r>0r>0r>0 alors (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est croissante ;

  • Si rrr<000 alors (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est décroissante ;

  • Si r=0r=0r=0 alors (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est constante.

Théorème

Soit (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ une suite arithmétique de raison rrr et ppp son rang initial.

Alors pour tout entier naturel n≥pn \geq pn≥p, le terme général de cette suite est un=up+(n−p)×ru_n=u_p+ (n-p) \times run​=up​+(n−p)×r.

ThéorèmeSomme des termes d'une suite arithmétique (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​

∑k=0nuk=u0+u1+⋯+un=(u0+un)(n+1)2\displaystyle \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0+u_1+\cdots+u_n = \frac{(u_0+u_n)(n+1)}{2}k=0∑n​uk​=u0​+u1​+⋯+un​=2(u0​+un​)(n+1)​.

Chapitre
04

Suites géométriques

Dans ce chapitre
  1. 4.1Suites géométriques : définition, variations et somme
Ce chapitre en ligne

Écoute les leçons, fais les quiz et pose tes questions sur workyt.fr.

CoursChapitre 4
Leçon 4.1

Suites géométriques : définition, variations et somme

Définition

Une suite (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ est une suite géométrique s’il existe un réel qqq, appelé raison de la suite, tel que pour tout entier naturel nnn, : vn+1=vn×qv_{n+1}=v_n \times qvn+1​=vn​×q.

On dit que (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ est une suite géométrique de raison qqq et de premier terme v0v_0v0​.

Théorème

Soit (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ une suite géométrique de raison qqq non nulle et de premier terme v0>0v_0 > 0v0​>0 :

  • Si q>1q>1q>1 alors (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ est croissante ;

  • Si 000 < qqq < 111 alors (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ est décroissante ;

  • Si q=1q=1q=1 alors (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ est constante ;

  • Si qqq < 000 alors (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ n'est ni croissante ni décroissante (elle oscille entre des termes positifs et négatifs).

Théorème

Soit (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ une suite géométrique de raison qqq et ppp son rang initial.

Alors pour tout entier naturel n≥pn \geq pn≥p, le terme général de cette suite est vn=vp×qn−pv_n = v_p \times q^{n-p}vn​=vp​×qn−p.

Exemple

Soit la suite (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ définie par v_0 =4= 4=4 et vn+1=v_{n+1}=vn+1​= 2 vnv_nvn​.

Ici, la raison de la suite est 2 (pour passer d’un terme au suivant, on multiplie par 2) et le rang de son premier terme est 0 donc q=2 et p=0.

D’après la propriété : vn=v0×qn−0=4+2nv_n = v_0 \times q^{n-0} = 4+2 nvn​=v0​×qn−0=4+2n.

Cette suite est croissante car q=q=q= 2 >1>1>1.

Théorème

Somme des termes d'une suite géométrique (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​

  • Si qqq est différent de 111, ∑k=0nvk=v0+v1+⋯+vn=v0×1−qn+11−q\displaystyle \sum_{k=0}^{n} v_k = v_0 + v_1 + \cdots + v_n = v_0 \times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}k=0∑n​vk​=v0​+v1​+⋯+vn​=v0​×1−q1−qn+1​ ;

  • Si q=1q=1q=1, ∑k=0nvk=v0×(n+1)\displaystyle \sum_{k=0}^{n} v_k = v_0 \times (n+1)k=0∑n​vk​=v0​×(n+1).

RemarqueCas particulier

Pour tout entier naturel n≥1n \geq 1n≥1,

  • Si qqq est différent de 111, ∑k=0nqk=1+q+q2+⋯+qn=1−qn+11−q\displaystyle \sum_{k=0}^{n} q^{k} = 1+q+q^2+\cdots+q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}k=0∑n​qk=1+q+q2+⋯+qn=1−q1−qn+1​ ;

  • Si q=1q=1q=1, ∑k=0nqk=n+1\displaystyle \sum_{k=0}^{n} q^{k}=n+1k=0∑n​qk=n+1.

Je retiens l'essentiel
Définition

Une suite (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ est une suite géométrique s’il existe un réel qqq, appelé raison de la suite, tel que pour tout entier naturel nnn, : vn+1=vn×qv_{n+1}=v_n \times qvn+1​=vn​×q.

On dit que (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ est une suite géométrique de raison qqq et de premier terme v0v_0v0​.

Théorème

Soit (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ une suite géométrique de raison qqq non nulle et de premier terme v0>0v_0 > 0v0​>0 :

  • Si q>1q>1q>1 alors (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ est croissante ;

  • Si 000 < qqq < 111 alors (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ est décroissante ;

  • Si q=1q=1q=1 alors (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ est constante ;

  • Si qqq < 000 alors (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ n'est ni croissante ni décroissante (elle oscille entre des termes positifs et négatifs).

Théorème

Soit (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ une suite géométrique de raison qqq et ppp son rang initial.

Alors pour tout entier naturel n≥pn \geq pn≥p, le terme général de cette suite est vn=vp×qn−pv_n = v_p \times q^{n-p}vn​=vp​×qn−p.

Théorème

Somme des termes d'une suite géométrique (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​

  • Si qqq est différent de 111, ∑k=0nvk=v0+v1+⋯+vn=v0×1−qn+11−q\displaystyle \sum_{k=0}^{n} v_k = v_0 + v_1 + \cdots + v_n = v_0 \times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}k=0∑n​vk​=v0​+v1​+⋯+vn​=v0​×1−q1−qn+1​ ;

  • Si q=1q=1q=1, ∑k=0nvk=v0×(n+1)\displaystyle \sum_{k=0}^{n} v_k = v_0 \times (n+1)k=0∑n​vk​=v0​×(n+1).

Chapitre
05

Représentation graphique

Dans ce chapitre
  1. 5.1Représentation graphique d'une suite
Ce chapitre en ligne

Écoute les leçons, fais les quiz et pose tes questions sur workyt.fr.

CoursChapitre 5
Leçon 5.1

Représentation graphique d'une suite

Définition

Représenter graphiquement une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ consiste à placer dans un repère l’ensemble des points de coordonnées (n ; un)(n \ ; \ u_n)(n ; un​).

Exemple

Soit la suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ définie par un=2n+1u_n = 2 n + 1un​=2n+1.

Image uploadée via UploadThing

Exemple

Soit la suite (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ définie par vn+1=12vn−1\displaystyle v_{n+1} = \frac{1}{2} v_n - 1vn+1​=21​vn​−1 et v0=2v_0 = 2v0​=2.

Les valeurs sont arrondies au centième près.

Image uploadée via UploadThing

Exemple

Soit la suite (wn)n∈N(w_n)_{n \in \mathbb{N}}(wn​)n∈N​ définie par wn=cos⁡(n)w_n = \cos(n)wn​=cos(n) où les angles sont en radians.

Rappel : Angle(radians) = π180×\displaystyle \frac{\pi}{180} \times180π​× Angle(degrés).

Les valeurs sont arrondies au centième près.

Image uploadée via UploadThing

Je retiens l'essentiel
Définition

Représenter graphiquement une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ consiste à placer dans un repère l’ensemble des points de coordonnées (n ; un)(n \ ; \ u_n)(n ; un​).

Chapitre
06

Limites

Dans ce chapitre
  1. 6.1Ouverture : convergence, limite et bornitude
Ce chapitre en ligne

Écoute les leçons, fais les quiz et pose tes questions sur workyt.fr.

CoursChapitre 6
Leçon 6.1

Ouverture : convergence, limite et bornitude

Définition

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est dite convergente si elle tend vers un réel lll quand nnn tend vers +∞+\infty+∞.

On note alors lim⁡n→+∞un=l\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = ln→+∞lim​un​=l.

Sinon, la suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est dite divergente.

Remarque

Étudier la limite d’une suite consiste à observer vers quoi se rapprochent ses termes quand « nnn devient grand ».

Exemple

Soit la suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​​ définie par un=2n+1u_n = 2n+1un​=2n+1.

nnn

000

101010

100100100

100010001000

100001000010000

100000100000100000

unu_nun​

111

212121

201201201

200120012001

200012000120001

200001200001200001

Image uploadée via UploadThing

La suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ diverge car ses termes tendent vers +∞+\infty+∞ quand nnn tend vers +∞+\infty+∞.

Donc lim⁡n→+∞un=+∞\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = +\inftyn→+∞lim​un​=+∞.

Exemple

Soit la suite (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ définie par vn+1=12vn−1\displaystyle v_{n+1} = \frac{1}{2} v_n - 1vn+1​=21​vn​−1 et v0=2v_0 = 2v0​=2.

nnn

000

101010

100100100

100010001000

100001000010000

100000100000100000

vnv_nvn​

222

−2+128\displaystyle -2+\frac{1}{2^8}−2+281​

−2+1298\displaystyle -2+\frac{1}{2^{98}}−2+2981​

−2+12998\displaystyle -2+\frac{1}{2^{998}}−2+29981​

−2+129998\displaystyle -2+\frac{1}{2^{9998}}−2+299981​

−2+1299998\displaystyle -2+\frac{1}{2^{99998}}−2+2999981​

Image uploadée via UploadThing

La suite (vn)n∈N(v_n)_{n \in \mathbb{N}}(vn​)n∈N​ converge car ses termes se rapprochent de −2-2−2 quand nnn tend vers +∞+\infty+∞.

Donc lim⁡n→+∞vn=−2\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = -2n→+∞lim​vn​=−2.

Exemple

Soit la suite (wn)n∈N(w_n)_{n \in \mathbb{N}}(wn​)n∈N​ définie par wn=cos⁡(n)w_n = \cos(n)wn​=cos(n) où les angles sont en radians.

Les valeurs sont arrondies au centième près.

nnn

000

101010

100100100

100010001000

100001000010000

100000100000100000

wnw_nwn​

111

−0,84-0{,}84−0,84

0,860{,}860,86

0,560{,}560,56

−0,84-0{,}84−0,84

0,310{,}310,31

Image uploadée via UploadThing

La suite (wn)n∈N(w_n)_{n \in \mathbb{N}}(wn​)n∈N​ diverge car ses termes oscillent indéfiniment dans l'intervalle [−1;1][-1;1][−1;1].

Donc (wn)n∈N(w_n)_{n \in \mathbb{N}}(wn​)n∈N​ n'admet pas de limite.

Remarque

Toute suite arithmétique non constante (de raison rrr non nulle) est divergente vers +∞+\infty+∞ (si r>0r>0r>0) ou vers −∞-\infty−∞ (si rrr < 000).

Toute suite géométrique non constante (de premier terme non nul et de raison qqq non nulle et différente de 111) est convergente si et seulement si ∣q∣|q|∣q∣ < 111.

Définition

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est dite minorée s'il existe une constante réelle mmm telle que, pour tout entier naturel nnn, un≥mu_n \geq mun​≥m.

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est dite majorée s'il existe une constante réelle MMM telle que, pour tout entier naturel nnn, un≤Mu_n \leq Mun​≤M.

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est dite bornée si elle est minorée et majorée.

ThéorèmeThéorème de la limite monotone

Soit (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ une suite réelle.

Si (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est croissante et majorée, alors elle converge.

Si (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est décroissante et minorée, alors elle converge.

Je retiens l'essentiel
Définition

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est dite convergente si elle tend vers un réel lll quand nnn tend vers +∞+\infty+∞.

On note alors lim⁡n→+∞un=l\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = ln→+∞lim​un​=l.

Sinon, la suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est dite divergente.

Définition

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est dite minorée s'il existe une constante réelle mmm telle que, pour tout entier naturel nnn, un≥mu_n \geq mun​≥m.

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est dite majorée s'il existe une constante réelle MMM telle que, pour tout entier naturel nnn, un≤Mu_n \leq Mun​≤M.

Une suite (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est dite bornée si elle est minorée et majorée.

ThéorèmeThéorème de la limite monotone

Soit (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ une suite réelle.

Si (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est croissante et majorée, alors elle converge.

Si (un)n∈N(u_n)_{n \in \mathbb{N}}(un​)n∈N​ est décroissante et minorée, alors elle converge.